TERCER PERIODO

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

La derivada de una función {\displaystyle f\,} es la pendiente geométrica de la recta tangente del gráfico de {\displaystyle f\,}en {\displaystyle x\,}. Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente: {\displaystyle (x,f(x))\,}.

EJERCICIOS

Calcula la derivada de las funciones logarítmicas:

REGLA DE LA CADENA

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

EJERCICIOS

TEOREMA DE ROLLE Y TEOREMA DEL VALOR MEDIO

AEn cálculo diferencial, el teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual la derivada de una función derivable se anula cuando el valor que está en los extremos del intervalo es el mismo. Es generalizado mediante el teorema del valor medio, del que este es un caso especial. Es uno de los principales teoremas en cálculo debido a sus aplicaciones.

En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange), teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrangeo teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante del cálculo (ver también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor y el teorema de Rolle, ya que ambos son un caso especial.

PUNTO DE INFLEXIÓN

Un punto de inflexión, en una función matemática, es un punto donde los valores de una función continua en x pasan de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente.1 Matemáticamente, la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero,23 o no existe.

EJERCICIOS

1 f(x) = x³ − 3x + 2

f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.

f'''(x) = 6 f'''(0) = 6 ≠0 .

Por tanto, en x = 0 hay un punto de inflexión.

f(0) = (0)³ − 3(0) + 2 = 2