SEGUNDO PERIODO
INECUACIONES CUADRÁTICAS
Llamaremos inecuación cuadrática a toda inecuación en la cual uno de sus miembros es una expresión de la forma ax2+bx+c y el otro miembro es cero.Inecuaciones cuadráticas. Inecuaciones cuadráticas o de segundo grado son desigualdades donde la variable de mayor exponente tiene grado dos (2).
EJERCICIOS
1
x² − 6x + 8 > 0
2
x² + 2x +1 ≥ 0
3
x² + x +1 > 0
4
7x² + 21x − 28 < 0
5
−x² + 4x − 7 < 0
Valor absoluto.
En matemáticas, el valor absoluto o módulo1 de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-).2 Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de +3 y de -3.
El valor absoluto está vinculado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
EJERCICIOS
1) Resolver las siguientes ecuaciones:
1.1)43=−x 1.2)235=− x 1.3)621−=−−x 1.4)91423=−−x 1.5)61323=− x 1.6)03=+−x x 1.7)31−=−+x x 1.8)121=−x
1 .9)223=− x 1.10)931=−x 1.11)421=− x x 1.12) 131−=−x x2)
Resolver las siguientes desigualdades. Represente las soluciones en notación deintervalos y geométricamente 2.1)22≥−x 2.2)53<− x 2.3)542−≤−−x 2.4)9142>− x 2.5)53223<− x 2.6)221≤−x 2.7)3113−>+− x 2.8)121−≤−x 2.9)2231≥−+x 2.10)22132≥−−x 2.11)0131≤−+−x x3)
Escriba las siguientes proposiciones en términos de desigualdades y valores absolutos 3.1) x esta entre -3 y 3, ambos inclusive. 3.2) la distancia entre x y -2 es cuanto mucho 33.3) El precio, p, en la bolsa de unos papeles comerciales difiere de 150UM en menosde 20. 3.4) x es mayor que 4 o menor que -4 3.5) x no está a más de 4 unidades de 5.
Sucesiones monótonas crecientes.
Se dice que una sucesión de números reales es monótona creciente si cada término es menor o igual que el siguiente. Es decir los términos van aumentando su valor o, a lo sumo, son iguales.
Por lo tanto, su representación en el plano cartesiano serán puntos que van subiendo.
a n £ a n+1
EJERCICIOS
- Estudiar la monotonía de las sucesiones:xn=2nn+1,yn=nn2+1,zn=n+13n−11." role="presentation">xn=2nn+1,yn=nn2+1,zn=n+13n−11.xn=2nn+1,yn=nn2+1,zn=n+13n−11.
- Estudiar la monotonía de las sucesiones: an=7nn!,bn=7n(n+5)!." role="presentation">an=7nn!,bn=7n(n+5)!.an=7nn!,bn=7n(n+5)!.
- Se considera la sucesión an=2nn2+1." role="presentation">an=2nn2+1.an=2nn2+1.
a)" role="presentation">a)a) Demostrar que es monótona creciente.
b)" role="presentation">b)b) Demostrar que K=3" role="presentation">K=3K=3 es cota superior de la sucesión.
c)" role="presentation">c)c) Concluir que es convergente. - Se considera la sucesión {an}" role="presentation">{an}{an} definida por a1=0" role="presentation">a1=0a1=0 y an+1=6+an." role="presentation">an+1=6+an−−−−−√.an+1=6+an.
a)" role="presentation">a)a) Demostrar por inducción que an≥0" role="presentation">an≥0an≥0 para todo n." role="presentation">n.n.
b)" role="presentation">b)b) Demostrar que {an}" role="presentation">{an}{an} es monótona creciente.
c)" role="presentation">c)c) Demostrar {an}" role="presentation">{an}{an} está acotada superiormente.
d)" role="presentation">d)d) Calcular el límite de {an}" role="presentation">{an}{an} caso de ser convergente. - Demostrar que toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente, es convergente, y que su límite es el extremo superior del conjunto de los términos de la sucesión.
Sucesiones monótonas decrecientes.
¿Que es?
Se dice que una sucesión de números reales es monótona decreciente si cada término es mayor o igual que el siguiente. Es decir los términos van disminuyendo su valor o, a lo sumo, son iguales.
Por lo tanto, su representación en el plano cartesiano serán puntos que van bajando.
a n ³ a n+1
EJERCICIOS
- Estudiar la monotonía de las sucesiones:xn=2nn+1,yn=nn2+1,zn=n+13n−11." role="presentation">xn=2nn+1,yn=nn2+1,zn=n+13n−11.xn=2nn+1,yn=nn2+1,zn=n+13n−11.
- Estudiar la monotonía de las sucesiones: an=7nn!,bn=7n(n+5)!." role="presentation">an=7nn!,bn=7n(n+5)!.an=7nn!,bn=7n(n+5)!.
- Se considera la sucesión an=2nn2+1." role="presentation">an=2nn2+1.an=2nn2+1.
a)" role="presentation">a)a) Demostrar que es monótona creciente.
b)" role="presentation">b)b) Demostrar que K=3" role="presentation">K=3K=3 es cota superior de la sucesión.
c)" role="presentation">c)c) Concluir que es convergente. - Se considera la sucesión {an}" role="presentation">{an}{an} definida por a1=0" role="presentation">a1=0a1=0 y an+1=6+an." role="presentation">an+1=6+an−−−−−√.an+1=6+an.
a)" role="presentation">a)a) Demostrar por inducción que an≥0" role="presentation">an≥0an≥0 para todo n." role="presentation">n.n.
b)" role="presentation">b)b) Demostrar que {an}" role="presentation">{an}{an} es monótona creciente.
c)" role="presentation">c)c) Demostrar {an}" role="presentation">{an}{an} está acotada superiormente.
d)" role="presentation">d)d) Calcular el límite de {an}" role="presentation">{an}{an} caso de ser convergente. - Demostrar que toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente, es convergente, y que su límite es el extremo superior del conjunto de los términos de la sucesión.
FUNCIONES REALES
¿Que es?
Se llama Función Real, a toda función de variable real (perteneciente a R, el conjunto de los números reales), definida de R en R, tal que asocia números reales con números reales.
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
El concepto de función tiene múltiples usos. Si nos centramos en las matemáticas una función es una relación que existe entre dos conjuntos, mediante la cual a cada elemento del conjunto inicial se le asigna un solo elemento del conjunto final (o ninguno). Logarítmico, por su parte, es aquello vinculado a un logaritmo: el exponente al cual se necesita elevar una cierta cantidad para obtener como resultado un número determinado.
EJERCICIOS
Calcular el dominio de las siguientes funciones.
Nota: una función puede tener varios dominios posibles, pero nosotros queremos que sea lo más grande posible.
